Векторные свойства линейных операторов

Пусть A, B – линейные операторы и – случайный вектор, тогда их сумма есть оператор C, определяемый как

,

не считая того, .

Обозначим для каждого A через (–A) оператор, определенный как , тогда . Добавив свойство коммутативности и ассоциативности сложения, получим, что линейный оператор образует коммутативную группу по сложению (производятся теоремы 1 – 4 линейных пространств).

Для хоть Векторные свойства линейных операторов какого A и определим произведение как . Просто показать выполнение других аксиом линейного места. Тем справедливо: огромное количество всех линейных операторов образует линейное (векторное) место.

Умножение операторов

Оператор C именуется произведением оператора A на оператор B и определяется как

.

Произведение линейных операторов – линейный оператор. По правде, и , имеем

. ▼

Дальше, аналогично, показывается, что для всех Векторные свойства линейных операторов операторов A, B, C и , производится

1) ;

2) ;

3) ;

4)

Покажем, к примеру, выполнение 4). Имеем ,

. ▼

Таким макаром, огромное количество линейных операторов образует некоммутативное кольцо.

Замечание. У линейных операторов имеется два «нехороших» характеристики. 1-ое из их, это некоммутативность произведения, 2-ое заключается в том, что возможно окажется равным нулю произведение 2-ух операторов даже тогда, когда Векторные свойства линейных операторов ни какой-то из них не равен нулю (ненулевой оператор, произведение которого с неким ненулевым оператором равно нулю, именуется делителем нуля). Необходимость учесть эти характеристики нередко приводит к неурядицам, а именно в обозначениях (к примеру, – это либо , и т.д.).

К счастью, у линейного оператора есть и «хорошие» характеристики, к примеру, если оператор Векторные свойства линейных операторов A обладает хотя бы одним из параметров:

1) если , то ;

2) Þ .

Если A обладает обоими этими качествами, то молвят, что A – обратим. Оборотный к A оператор обозначается эмблемой .

Аксиома.Если A, B, C – линейные операторы, такие, что , то A обратим и , другими словами

.

Перейдем к количественной характеристике линейных операторов Векторные свойства линейных операторов.

Пусть базис в L и A линейный оператор в нем. В итоге деяния оператора на базовые векторы получаются новые векторы , которые также образуют базис:

, .

Представим, что векторы нового базиса выражаются

через векторы старенького базиса как

, . (VI.3)

Приобретенная система линейных алгебраических уравнений (VI.3) разумеется удовлетворяет условиям линейности (VI.1).

Особенностью этих преобразований является Векторные свойства линейных операторов линейность функций, связывающих старенькые и новые базовые векторы. Коэффициенты определяют матрицу , именуемую матрицей линейного оператора.

Таким макаром, в базисе каждому линейному оператору соответствует определенная матрица и назад, каждой матрице отвечает некий линейный оператор, определяемый формулой (VI.3). Матричное исчисление для исследования линейных операторов в конечномерных векторных местах является более комфортным алгебраическим аппаратом Векторные свойства линейных операторов, естественно, если матрицы согласованы.

Умение отыскивать сумму и произведение операторов, позволяет получать итог возведения оператора в всякую степень, отыскать хоть какой полином от оператора A, как

.

Оператором, оборотным к A, именуется оператор , таковой, что производится

.

Вырожденным операторам, не имеющим оборотного, соответствуют особенные (вырожденные) матрицы, определители которых равны 0.

Пример VI.2. Найти, для каких Векторные свойства линейных операторов матриц есть оборотные:

, , .

Решение 1. Вычислим ранги , , матриц. Получим по порядку , , .

Решение 2. Вычислим определители матриц: , .

Таким макаром, невырожденной матрицей является 1-ая матрица .

Тот факт, что огромное количество всех линейных операторов образует векторное место, далековато не единственное достоинство операторов. К примеру, из последнего следует, что для их полностью удовлетворительно Векторные свойства линейных операторов определено умножение (см алгебру матриц).

Матрицы операторов

Пусть в некой фиксированной координатной системе , известны матрицы , операторов A, B, соответственно.

Определим матрицу оператора , где покажем, что .

Имеем

. ▼

Пусть , тогда

.

.

Отсюда .

Итак, имея базис , мы поставили в соответствие каждому линейному оператору A матрицу , тогда

.

Соответствие взаимнооднозначное, и матрица является матрицей некого оператора, другими словами если , то

.

Таким Векторные свойства линейных операторов макаром, если , то

.

Подведем итоги, пусть , и т.д. огромное количество всех матриц. Определим сумму, умножение на число, произведение, – матрицу нулевого оператора, – матрицу тождественного оператора формулами

, ,

, ,

Тогда соответствие меж всеми линейными операторами A на L и всеми матрицами , задаваемыми как , является изоморфизмом.

Пример VI.3. Пусть A линейный оператор на огромном количестве Векторные свойства линейных операторов
многочленов степенине большей, чем n-1, , , определенный формулой и – базис
в M, определенный формулой , . Отыскать матрицу оператора A, где в базисе .

Решение. Если , , то

Отсюда , . Применяя формулу двучлена Ньютона, , для каждого фиксированного j, приравнивая коэффициенты при схожих степенях , получим

.

Беря во внимание, что , при этом для , где , получим матрицу Векторные свойства линейных операторов оператора A

, .

А именно, для варианта

. ▼

Покажем, как, зная матрицу линейного оператора A по координатам вектора x, отыскать координаты вида Ax в этом базисе.

Пусть , тогда, в обозначениях примера, , что равносильно матричному равенству

, (VI.4)

где в квадратных скобках стоит произведение вектора (можно матрицы-строки) на матрицу оператора A.

Отсюда следует, что строчка координат Векторные свойства линейных операторов вектора равна строке координат вектора x, умноженной справа на матрицу , все в базе .

Пример VI.4. В критериях предшествующего примера, отыскать координаты вида при известной , где .

Решение. Имеем , тогда . Как и раньше ограничимся случаем , где базис , тогда

.

Совсем,

. ▼

Изменение базиса [3, 11]

Дадим ответ на решение задач, нередко возникающих при изменении базиса.

Пусть , , , – два Векторные свойства линейных операторов базиса в n-мерном линейном пространстве L.

I (a). Если вектор , то какова связь меж его координатами в базисе и его координатами в базисе ?

I (b). Если – упорядоченное огромное количество скаляров, то какова связь меж векторами x и y?

Пусть A – линейный оператор, определяемый равенствами

,

положим , , тогда .

Ответы:

(a). Пусть – матрица Векторные свойства линейных операторов оператора A в базисе , другими словами , . Оператор A обратим, так как из , следует, что , . Потому что

,

то

.

(b). Разумеется, что . Это значит последующее: если матрица оператора A известна, то ее строчки можно советовать рассматривать как преобразование координат, а можно как преобразование векторов.

Подобие [11]

II (a). Пусть B – линейный Векторные свойства линейных операторов оператор на L. Какова связь меж его матрицами и в базисах и соответственно?

II (b). Дана матрица . Какова связь меж линейными операторами B и C, определенными равенствами и соответственно?

Ответы:

a) Имеем , . С внедрением оператора A можем записать

.

Также

.

Беря во внимание предшествующее выражения, стоящие в правых частях, получаем

.

Либо, переходя к матрицам Векторные свойства линейных операторов, имеем равенство

.

Матрица соответствует оператору B в базисе и для ее вычисления, беря во внимание, что оператор A обратим, умножим слева матричное уравнение на матрицу . Беря во внимание, что

и ,

получаем

.▼

В данном случае молвят, что матрицы и подобны.

б). Заметим, что и

,

другими словами оператор C такой, что

либо

, тогда .

Линейные операторы C и B именуются схожими, если Векторные свойства линейных операторов существует обратимый оператор A, удовлетворяющий этому равенству.

Пример VI.5. Обосновать, что а) если A подобен скаляру a, то ; b) если A и B подобны, то это правильно и для и , а если A и B обратимы, то подобны и и .

Решение. а) Пусть E – тождественный оператор, тогда, по определению Векторные свойства линейных операторов, . Дальше существует оператор C, что , тогда и, по аксиоме об обратимости оператора, , другими словами . ▼

b) имеем , тогда

. ▼

Пусть A и B обратимы, тогда имеем . Заметим, что для всех обратимых матриц, , тогда

. ▼


vena-kakoj-ee-znal-otto-myuller-2-glava.html
vena-myunhen-i-mirovaya-vojna-i-gitler-referat.html
venchanie-na-carstvo-ivana-iv-narodnoe-vosstanie-protiv-glinskih-doklad.html